誘導機の重要公式
回転磁界の回転速度(同期速度)
同期速度の式は、
$$N_{s}=\frac{120f}{p}[min^{-1}]$$
※f：電源周波数 p：極数
で表され、以下のように求めることができます。まず＜画像１＞をご覧ください。
誘導機の合成磁界は＜画像1＞のように遷移していくのでした。
誘導電動機の構造 誘導電動機は、主に固定子と回転子に分けることができます。それぞれの構造を見ていきましょう。 固定子（ステータ） 固定子の主な役割は、回転磁界を発生さ[…]
＜画像2＞はある位相の瞬間を切り取ったものです。この瞬間の合成磁界はNとSの二極に置き換えることができ、これを二極機といったりします（$p＝2$）。この回転磁界は＜画像3＞↓に示すように、一周期で一周します。
これを一般的に言い表すと「極数$p$の回転磁界は一周期で$\frac{2}{p}$回転する。」とあらわすことが出来ます。（$p=4$）の場合には、一周期で0.5回転するということになりますね。
ここで用語の確認ですが、「周期:T[s]」というのは交流が一回振動するのにかかる時間でした。ということで、単位時間当たりの回転数は$\frac{\frac{2}{p}}{T}[sec^{-1}]$となり、周期：Tは、周波数$f$の逆数なので、$$ \frac{\frac{2}{p}}{T}[sec^{-1}] =\frac{2f}{p} [sec^{-1}] $$となります。これを「一秒あたり」から「一分当たり」に変換すると、同期速度の式$$N_{s}=\frac{120f}{p}[min^{-1}]$$となります。
回転子の回転速度
回転子の回転速度は以下の式で表されます。
$$N=\frac{120f(1-s)}{p}[min^{-1}]$$
※$s$：滑り
”誘導電動機の回転原理”と”滑り”とは？
誘導電動機の回転子の回転速度は、回転磁界の回転速度（同期速度）よりも遅い状態で運転されます。なぜなのかという理由の理解には、回転原理を知る必要があります。回転原理を説明すると以下の通りになります。
誘導電動機の回転原理とは？
ここでは「かご形誘導電動機のかご形回転子」を例にして回転原理を見ていくことにしましょう。
まず回転磁界（緑矢印）が時計回りに回転し、↑＜画像4＞のような合成磁界の瞬間と赤枠の位置を切り取ります。
回転磁界は時計回りに回っていますので、＜画像5＞中左のように、磁束が減少するループと磁束が増加するループが生じます。ここでファラデーの電磁誘導の法則の登場です。磁束が減少しようとしているループには、減少を抑える方向（増加させようとする方向）に磁界を発生させるように電流が流れます。一方で磁束が増加しようとしているループには、増加を抑える方向（減少させようとする方向）に磁界を発生させる電流が流れます。つまり、回転子導体中には＜画像5＞左のように電流が流れることになります。
その結果、導体中に生じた電流と回転磁界で「フレミングの左手の法則」に従って＜画像5＞中右のように時計回りに回転子を回転させようとする力が働くことになります。回転磁界と同じ方向に回転しています。
簡単に原理をまとめてみましょう。
- 固定子に三相交流を印加し、回転磁界が発生。
- 回転磁界が、回転子を横切る。（導体を貫く磁束の量の変化）
- 回転子に誘導起電力が発生し、電流が生じる。
- 回転子に生じた電流と磁界により、回転トルクが発生。
これが誘導電動機の回転原理になります。
滑りとは？
以上の回転原理の説明から分かるように、回転磁界が回転子を横切らないとそもそも回転子に電流が流れません。つまり、同期速度＞回転子の回転速度のとき、電動機としてのトルクが発生することになります。同期速度＝回転子の回転速度のとき、磁界は回転子を横切りませんので、回転トルクが発生しない＝減速するということになります。このようにして、誘導電動機の回転子は回転磁界の回転速度（同期速度）よりも遅い状態で運転されるのです。
”滑り”というのは、回転磁界の回転速度（＝同期速度）と、回転子の回転速度の差が、同期速度に対してどれくらいの割合か。というものになります。以下が公式です。$$s=\frac{N_{s}-N}{N_{s}}$$
例えば、同期速度$N_{s}=1800$、回転子の回転速度$N=1750$とすると、$$N_{s}=\frac{1800-1750}{1800}=0.027777….$$となります。
回転角速度
上記の回転速度の単位は〇[$min^{-1}$]でした。これは「一分間に〇回転する」という意味ですね。ではこれを、角速度である「一秒間で〇rad回転する」という意味の[$rad/s$]に直してみましょう。
まず1radの定義を確認しましょう。1radの定義は以下の通りです。
円周上でその円の半径と同じ長さの弧を切り取る2本の半径が成す角の値
もう少しわかりやすく言うと、「半径に対する円弧の長さの比」です。<画像6>をご覧ください。
＜画像6＞中にあるように、360°は2π[rad]であると分かりました。では「二回転」というのは何radになるでしょうか？二回転は$360°×２＝720°$ですので、二回転は$2π×2=4π[rad]$ということになります。これを一般化すると、$x$回転は$2πx[rad]$になります。
次に「一分間で一回転」を「一秒間で〇回転」に直しましょう。これは単純に$\frac{1}{60}$をかけてあげればいいですね。
つまり、回転角速度$ω[rad/s]$は、$$ω=\frac{2πN}{60}[rad/s]$$になります。
等価回路
誘導機は等価回路で表すことが出来ます。「励磁回路」の位置によって「T型」「L型」の2つの表し方がありますが、元となる回路図は＜画像7＞のようになります。左側が一次側、すなわち固定子側、右側が二次側、すなわち回転子側になります。
ここで注目してほしいのが、二次誘導起電力$s\dot{E}$と二次側リアクタンス$jsX_{2}$についている$s$です。これは先に説明した「滑り」になりますが、この滑りによって二次側誘導起電力と二次側リアクタンスが変わってきます。
ここで「ファラデーの電磁誘導の法則」の式を見てみましょう。誘導起電力$e$は、$$e=-N\frac{dΦ}{dt}$$で求められますが、この式の意味するところは、「導体を貫く磁束の量の変化量が大きいほど誘導起電力は大きくなる」ということです。つまり同期速度に対して、回転子の回転速度が低いほど（滑りが大きいほど）、誘導起電力は大きくなります。回転子が静止（$s=1$）で $s\dot{E_{2}}$ が最大となり、回転子の回転速度が上昇するにつれて（$s$が小さくなるにつれて） $s\dot{E_{2}}$ は小さくなります。二次側リアクタンスは $jsX_{2}＝j2πsfL$ です。つまり二次側周波数が一次側の$s$倍になるということですね。
これは脳内イメージが出来る方はわかりやすいかと思いますが、滑りが大きいほど、二次側に誘導される電流の向きが素早く変わります。これは「滑りが大きいほど、二次周波数が大きくなる」ということです。
そして＜画像7＞中の左右の独立した回路を、取り扱いやすいように繋げてしまおうというのが、これから説明する「T型」「L型」等価回路ということになります。次に行く前に、<画像7>の二次側回路に少し手ほどきしましょう。
↑＜画像8＞は二次側（回転子側）回路の各パラメータをすべて$s$で割ったものになります。
↑＜画像9＞は$\frac{R_{2}}{s}$を$R_{2}$と$\frac{1-s}{s}R_{2}$に分解したものになります。
$$ \frac{R_{2}}{s}= R_{2} + \frac{1-s}{s}R_{2} $$
このように変形する理由は、二次側の$R_{2}$による損失と、 $\frac{1-s}{s}R_{2} $ による回転子の機械的出力に分けることが出来るからです。（このようになる理由は後ほど出てきます。）
では、次に行きましょう。
T型等価回路
T型等価回路は、＜画像10＞のように、励磁回路が一次側と二次側の間に入ります。
励磁回路は、磁界を発生させるための回路になります。$g_{o}$と$b_{o}$はそれぞれ励磁コンダクタンスと励磁サセプタンスになります。これらは、励磁抵抗と励磁リアクタンスの逆数で、「電流の流れやすさ」になります。
このようにして考えたほうが、並列計算が楽になります。
回路図にて注目して頂きたいのが、二次側の各記号に「’」がついていることです。
これは「二次側の値を一次側に換算したものである」ということです。「一次側を二次側に換算したもの」も用いられますがが、電験では「二次側を一次側に換算したもの」のほうがよく用いられている感じがします（主観です）。一次換算・二次換算に関しては、変圧器の解説になりますが、下記リンクの記事で説明しています。是非ご覧ください。
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L型等価回路
L型等価回路は＜画像7＞のように、T型等価回路とは違い、「励磁回路」が左に移動したものになります。
「L型等価回路」を用いることが出来るのは、”一次側電流”と”二次側電流の一次換算値”がほぼ等しいときになります。つまり「励磁電流が小さいとき」ということになります。電験ではこの「L型等価回路」をよく用いますので、この等価回路を用いて各式を確認していきましょう。
一次負荷電流
一次側インピーダンスと二次側インピーダンス（一次換算値）を合成すると、$$\dot{Z}=R_{1}+\frac{R_{2}^{‘}}{s}+j(X_{1}+X_{2}^{‘})$$
$$\vert \dot{Z}\vert=\sqrt{(R_{1}+\frac{R_{2}^{‘}}{s})^{2}+(X_{1}+X_{2}^{‘})^{2}} $$
となり、電流は、
$$I_{1}^{‘}=\frac{{V}_{1}}{\sqrt{(R_{1}+\frac{R_{2}^{‘}}{s})^{2}+(X_{1}+X_{2}^{‘})^{2}}}$$となります。
二次入力
二次側に入力される電力$P_{2}[W]$は、＜画像8＞右にあるような元の形、$\frac{R_{2}^{‘}}{s}$で消費される電力になります。つまり二次入力 $P_{2}[W]$ は、$$P_{2}=3\frac{R_{2}^{‘}}{s}I_{1}^{‘2}$$で求められます。
二次銅損
二次銅損は$R_{2}^{‘}$で消費される電力になります 。$$ P_{c2}=3R_{2}^{‘}I_{1}^{‘2}$$
機械的出力
では、上記の二次入力から二次銅損を引いてみましょう。それが機械的出力$P_{o}$となります。
\begin{eqnarray} P_{o}&=& P_{2}-P_{c2} \\ &=& 3\frac{R_{2}^{‘}}{s}I_{1}^{‘2} – 3R_{2}^{‘}I_{1}^{‘2} \\&=&3(\frac{R_{2}^{‘}}{s}-R_{2}^{‘})I_{1}^{‘2} \\&=&3\frac{1-s}{s}R_{2}^{‘}I_{1}^{‘2}\end{eqnarray}
ピンときた方もおられると思いますが、式の中に$\frac{1-s}{s}R_{2}^{‘}$ が出現しました。
重要な関係式
上で求めた「二次入力」「二次銅損」「機械的出力」の関係を見てみましょう。
$$二次入力P_{2}=3\frac{R_{2}^{‘}}{s}I_{1}^{‘2}$$
$$二次銅損P_{c2}=3R_{2}^{‘}I_{1}^{‘2} $$でした。二次銅損$P_{c2}$を二次入力$P_{2}$を用いて表すと、$$P_{c2}=sP_{2}$$となることが分かります。つまり、滑りが大きいほど二次銅損が大きくなります。次に、
$$二次入力P_{2}=3\frac{R_{2}^{‘}}{s}I_{1}^{‘2}$$
$$機械的出力P_{o}= 3\frac{1-s}{s}R_{2}^{‘}I_{1}^{‘2} $$
でした。機械的出力$P_{o}$を二次入力$P_{2}$を用いて表すと、$$P_{o}=(1-s)P_{2}$$となることが分かります。
つまり、滑りが大きいほど機械的出力は小さくなっていきます。
以上より、次の関係が導かれます。
この関係式は電験の試験でよく用いますので、使えるようにしてくださいね！
トルク
トルクTは次の式で表されます。$$\begin{align}T&=\frac{P_{o}}{ω}\\&=\frac{3\frac{1-s}{s}R_{2}^{‘}I_{2}^{‘2}}{\frac{2πN_{s}}{60}(1-s)}\\ &=\frac{3\frac{R_{2}^{‘}}{s}}{\frac{2π}{60}\frac{120f}{p}}\frac{V_{1}^{2}}{\sqrt{(R_{1}+\frac{R_{2}^{‘}}{s})^{2}+(X_{1}+X_{2}^{‘})^{2}}^{2}}\\ &=\frac{3p}{4πf}・\frac{R_{2}^{‘}}{s}・\frac{V_{1}^{2}}{(R_{1}+\frac{R_{2}^{‘}}{s})^{2}+(X_{1}+X_{2}^{‘})^{2}}\end{align}$$
三種ではこの導出は不要かと思いますが、二種以上になってくると、「最大トルクとなる滑り$s_{max}$を求めよ。」というような問題が出ます。そうなると、この長い数式をいじくって微分するという作業が必要になります。なので二種以上の方はこの式を導けるようになってほしいですが、三種の方は「トルクは電圧の２乗に比例する」を覚えておけば問題ないかと思います。
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