＜R元年度（2019年）問15＞三相同期発電機の力率に関する計算問題(解説あり)

問題

並行運転しているA及びBの2台の三相同期発電機がある。それぞれの発電機の負荷分担が同じ7300kWであり、端子電圧が6600Vのとき、三相同期発電機Aの負荷電流$I_A$が1000A、三相同期発電機Bの負荷電流$I_B$が800Aであった。損失は無視できるものとして、次の（a）及び（b）の問に答えよ。

（a）三相同期発電機Aの力率の値[%]として、最も近いものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。

（１）48　（２）64　（３）67　（４）77　（５）80

（b）2台の発電機の合計の負荷が調整の前後で変わらずに一定に保たれているものとして、この状態から三相同期発電機A及びBの励磁及び駆動機の出力を調整し、三相同期発電機Aの負荷電流は調整前と同じ1000Aとし、力率は100％とした。このときの三相同期発電機Bの力率の値[%]として、最も近いものを次の（１）～（５）のうちから一つ選べ。ただし、端子電圧は変わらないものとする。

（１）22　（２）50　（３）71　（４）87　（５）100

解答を見る

（a）・・・（2）
（b）・・・（1）

解説

前提知識

三相同期発電機の出力$P[W]$は、端子電圧(線間)を$V[V]$、線電流を$I[A]$、力率を$cos\theta$とすると、

$$P=\sqrt{3}VIcos\theta [W]$$

と表されます。

力率は、以下の画像において、

$$cos\theta =\frac{P}{S}$$で求まります。

解説

(a)問題

題意より、発電機Aの出力$P_A=7300[kW]$、端子電圧（線間）$V=6600[V]$、A機に流れる電流$I_A[A]=1000[A]$であるので、

『前提知識』における三相同期発電機の出力の式より、

$$P_A=\sqrt{3}V{I}_{A}cos{\theta }_A[W]$$

$$\begin{array}{rl}cos{\theta }_A& =\frac{P_A}{\sqrt{3}V{I}_A}\\ & =\frac{7300\times {10}^3}{\sqrt{3}\times 6600\times 1000}\\ & =0.638\\ & \fallingdotseq 0.64\end{array}$$

これを百分率に直すと、

$$\to 64[\mathrm{\%}]$$

よって（a）の答えは（２）となります。

(b)

三相同期発電機A及びBの励磁及び駆動機の出力を調整した際のBの力率$cos{\theta }_B^{\prime }$を求める問題です。

まずは下準備として、元の状態の発電機Bの力率$cos{\theta }_B$、元の状態の負荷の有効電力$P_L$、元の状態の負荷の無効電力$Q_L$を求めます。

元の状態の発電機Bの力率$cos{\theta }_B$は、

$$P_B=\sqrt{3}V{I}_{B}cos{\theta }_B$$より、

$$\begin{array}{rl}cos{\theta }_B& =\frac{P_B}{\sqrt{3}V{I}_B}\\ & =\frac{7300\times {10}^3}{\sqrt{3}\times 6600\times 800}\\ & =0.798\\ & \fallingdotseq 0.8\end{array}$$

元の状態の負荷の有効電力$P_L$は、題意より『2台の発電機の合計の負荷が調整の前後で変わらずに一定に保たれているものとして』とあるので、(a)問題の条件より、

$$\begin{array}{rl}{P}_L& =P_A（\mathrm{変}\mathrm{化}\mathrm{前}）+P_B（\mathrm{変}\mathrm{化}\mathrm{前}）\\ & =7300+7300\\ & =14600[kW]\end{array}$$

元の負荷の無効電力出力$Q_L$は、

$$\begin{array}{rl}{Q}_L& =\frac{P_A}{cos{\theta }_A}\times sin{\theta }_A+\frac{P_B}{cos{\theta }_B}\times sin{\theta }_B\\ & =\frac{7300\times {10}^3}{0.64}\times \sqrt{1-{0.64}^2}+\frac{7300\times {10}^3}{0.8}\times \sqrt{1-{0.8}^2}\\ & =8764276+5475000\\ & =14239276[var]\\ & \fallingdotseq 14239[kvar]\end{array}$$

題意より、負荷の変化がないとあるので、$P_L$と$Q_L$は変化しないものとなります。

三相同期発電機Aの変化後の出力$P_A^{\prime }$は、

$$\begin{array}{rl}{P}_A^{\prime }& =\sqrt{3}V{I}_A^{\prime }cos{\theta }_A^{\prime }\\ & =\sqrt{3}\times 6600\times 1000\times 1\\ & \fallingdotseq 11432[kW]\end{array}$$

元の状態の負荷の有効電力$P_L$と、変化後の発電機Aの有効電力$P_A^{\prime }$より、変化後の発電機Bの出力$P_B^{\prime }$は、

$$\begin{array}{rl}{P}_B^{\prime }& =P_L-P_A^{\prime }\\ & =14600-11432\\ & =3168[kW]\end{array}$$

無効電力に関しては、元の状態の負荷の無効電力$Q_L$が変化しないことと、発電機Aの状態変化後の力率が1であるので、無効電力$Q_A^{\prime }=0$であることを利用すると、

$$Q_A^{\prime }+Q_B^{\prime }=Q_L$$

$$Q_B^{\prime }=14239[kvar]$$

ここまでで、状態変化後の発電機Bの有効電力$P_B^{\prime }$と、無効電力$Q_B^{\prime }$が求まりました。

『前提知識』より、変化後の発電機Bの力率$cos{\theta }_B^{\prime }$は、

$$\begin{array}{rl}cos{\theta }_B^{\prime }& =\frac{P_B^{\prime }}{\sqrt{P_B^{\prime 2}+Q_B^{\prime 2}}}\\ & =\frac{3168}{\sqrt{{3168}^2+{14239}^2}}\\ & =0.217\\ & \fallingdotseq 0.22\end{array}$$

$$0.22\to 22[\mathrm{\%}]$$

よって（b）の答えは（１）となります。

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