問題
1相当たりの同期リアクタンスが$1[Ω]$の三相同期発電機が無負荷電圧$346[V]$（相電圧$200[V]$）を発生している。そこに抵抗器負荷を接続すると電圧が$300[V]$（相電圧$173[V]$）に低下した。次の(a)及び(b)に答えよ。
ただし、三相同期発電機の回転速度は一定で、損失は無視できるものとする。
（１）電機子電流$[A]$の値として、最も近いのは次のうちどれか。
（１）27 （２）70 （３）100 （４）150 （５）173
（２）出力$[kW]$の値として、最も近いのは次のうちどれか。
（１）24 （２）30 （３）52 （４）60 （５）156
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- (a)・・・(3)
(b)・・・(3)
前提知識
①同期発電機の1相分等価回路。
②同期発電機のベクトル図（＜画像1＞の回路を用いる）。
ベクトル図の書き方を丁寧に解説した記事がありますので、不安な方は是非ご覧ください。
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解説
(a)
題意中の『無負荷電圧』というのは＜画像3＞のような電圧を表します。
無負荷ということは、端子が開放されている状態ですので電機子電流が流れません。したがって、電圧降下も生じませんので端子電圧$V$と誘導起電力$E$は等しくなります。よって、この同期発電機の誘導起電力(相電圧)の大きさ$|\dot{E}|$は、
$$|\dot{E}|=200[V]（相電圧）$$
となります。
次に抵抗器負荷を接続した状態を考えます。回転速度一定の条件が問題文中に与えられていますので、先ほど求めた誘導起電力の大きさは変わりません。したがって、1相分等価回路で抵抗器負荷を接続した状態を表現すると＜画像4＞のようになります。
では、この1相分等価回路から式を立ててみましょう。
$$\dot{E}=\dot{V’}+jX_{s}\dot{I}・・・①$$
次に①より、ベクトル図を描くと＜画像5＞のようになります。
抵抗器負荷の抵抗を$R$とすると、$\dot{V’}=R\dot{I}$となるので、$\dot{V’}$と$\dot{I}$は同相になります。また、『同期機のベクトル図の書き方』に関して１から丁寧に解説した記事のリンクを貼りますので、是非ご覧ください。
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このベクトル図にて、三平方の定理を用いると、
$$E^{2}=V’^{2}+(X_{s}I)^{2}$$となり、$I$を求める形に変形し、数値を代入すると、
$$\begin{align}I&=\frac{\sqrt{E^{2}-V’^{2}}}{X_{s}}\\&=\frac{\sqrt{200^{2}-173^{2}}}{1}\\&≒100[A]\end{align}$$
よって（a）の答えは（３）となります。
(b)
三相同期電動機の出力$P[W]$は次の式によって求めることができます。
$$P=\frac{3V’E}{X_{s}}sinδ[W](V’,Eは相電圧)$$
$$P=\frac{3V’E}{X_{s}}sinδ[W]$$の導出も『同期発電機のベクトル図の書き方』の中で解説しています。
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＜画像5＞のベクトル図より、$sinδ$は、
$$sinδ=\frac{X_{s}I}{E}$$であるので、出力は、
$$\begin{align}P&=\frac{3V’E}{X_{s}}×\frac{X_{s}I}{E}\\&=\frac{3×200×173}{1}×\frac{1×100}{200}\\&=51900[W]≒52[kW]\end{align}$$
よって（b）の答えは（３）となります。
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