<H22年度(2010年)問15> 同期発電機に関する計算問題(解説あり)

問題

1相当たりの同期リアクタンスが$1[Ω]$の三相同期発電機が無負荷電圧$346[V]$(相電圧$200[V]$)を発生している。そこに抵抗器負荷を接続すると電圧が$300[V]$(相電圧$173[V]$)に低下した。次の(a)及び(b)に答えよ。
ただし、三相同期発電機の回転速度は一定で、損失は無視できるものとする。

(1)電機子電流$[A]$の値として、最も近いのは次のうちどれか。
(1)27 (2)70 (3)100 (4)150 (5)173

(2)出力$[kW]$の値として、最も近いのは次のうちどれか。
(1)24 (2)30 (3)52 (4)60 (5)156

解答を見る
(a)・・・(3)
(b)・・・(3)

前提知識

①同期発電機の1相分等価回路。

画像1

②同期発電機のベクトル図(<画像1>の回路を用いる)。

<画像2>

ベクトル図の書き方を丁寧に解説した記事がありますので、不安な方は是非ご覧ください。

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解説

(a)

題意中の『無負荷電圧』というのは<画像3>のような電圧を表します。

画像3

無負荷ということは、端子が開放されている状態ですので電機子電流が流れません。したがって、電圧降下も生じませんので端子電圧$V$と誘導起電力$E$は等しくなります。よって、この同期発電機の誘導起電力(相電圧)の大きさ$|\dot{E}|$は、

$$|\dot{E}|=200[V](相電圧)$$

となります。

次に抵抗器負荷を接続した状態を考えます。回転速度一定の条件が問題文中に与えられていますので、先ほど求めた誘導起電力の大きさは変わりません。したがって、1相分等価回路で抵抗器負荷を接続した状態を表現すると<画像4>のようになります。

画像4

では、この1相分等価回路から式を立ててみましょう。

$$\dot{E}=\dot{V’}+jX_{s}\dot{I}・・・①$$

次に①より、ベクトル図を描くと<画像5>のようになります。

画像5
※補足
抵抗器負荷の抵抗を$R$とすると、$\dot{V’}=R\dot{I}$となるので、$\dot{V’}$と$\dot{I}$は同相になります。また、『同期機のベクトル図の書き方』に関して1から丁寧に解説した記事のリンクを貼りますので、是非ご覧ください。
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このベクトル図にて、三平方の定理を用いると、

$$E^{2}=V’^{2}+(X_{s}I)^{2}$$となり、$I$を求める形に変形し、数値を代入すると、

$$\begin{align}I&=\frac{\sqrt{E^{2}-V’^{2}}}{X_{s}}\\&=\frac{\sqrt{200^{2}-173^{2}}}{1}\\&≒100[A]\end{align}$$

よって(a)の答えは(3)となります。

(b)

三相同期電動機の出力$P[W]$は次の式によって求めることができます。

$$P=\frac{3V’E}{X_{s}}sinδ[W](V’,Eは相電圧)$$

※補足
$$P=\frac{3V’E}{X_{s}}sinδ[W]$$の導出も『同期発電機のベクトル図の書き方』の中で解説しています。
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<画像5>のベクトル図より、$sinδ$は、

$$sinδ=\frac{X_{s}I}{E}$$であるので、出力は、

$$\begin{align}P&=\frac{3V’E}{X_{s}}×\frac{X_{s}I}{E}\\&=\frac{3×200×173}{1}×\frac{1×100}{200}\\&=51900[W]≒52[kW]\end{align}$$

よって(b)の答えは(3)となります。

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