<H30年度(2018年)問3>三相かご形誘導電動機に関する計算問題(解説あり)

問題

定格出力11.0kW、定格電圧220Vの三相かご形誘導電動機が定トルク負荷に接続されており、定格電圧かつ定格負荷において滑り3.0%で運転されていたが、電源電圧が低下し滑りが6.0%で一定となった。滑りが一定となったときの負荷トルクは定格電圧のときと同じであった。このとき、二次電流の値は定格電圧のときの何倍となるか。最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし、電源周波数は定格値で一定とする。

(1)0.50(2)0.97(3)1.03(4)1.41(5)2.00

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(4)

前提知識

①電動機の出力$P_{o}[W]$を求める式(2種類)

<一つ目>
$$P_{o}=3\frac{1-s}{s}r_{2}’I_{2}^{2}[W]$$

画像1 (二次側を一次側換算)

<二つ目>

$$P_{o}=ωT[W]$$

ただし、$ω[rad/s]$は回転子の回転角速度、$T[N・m]$は電動機トルク。

解説

この問題は題意中に『定トルク負荷に接続されており』とあるので「トルクの比例推移」を用いるのかと思いがちですが、そうではありません。今回求めるのは、「二次電流の変化前後の倍率」ですので、与えられた条件から二次電流を含む関係式を用いて問題を解いていきましょう。『前提知識①<一つ目>』より、立式します。条件変化前の電動機出力$P_{o}[W]$に関する式は、

$$P_{o}=3\frac{1-s}{s}r_{2}’I_{2}^{2}[W]・・・①$$

条件変化後の電動機出力$P_{o}'[W]$に関する式は、

$$P_{o}’=3\frac{1-s’}{s’}r_{2}’I_{2}’^{2}・・・②$$

となります。この二つを用いて、

$$\frac{I_{2}’}{I_{2}}$$

を求めるのが今回の問題となります。($r_{2}'[Ω]$は未知数ですが、なんとなく計算過程で消えそうな感じはしますね!)

次に、条件変化後の電動機出力$P_{o}'[W]$を求めるのですが、ここで題意の『滑りが一定となったときの負荷トルクは定格電圧のときと同じ』を用います。

条件変化前のトルク$T$に関する式は、

$$T=\frac{P_{o}}{ω_{s}(1-s)}[N・m]・・・③$$

条件変化後もトルクは変わらないので、

$$T=\frac{P_{o}’}{ω_{s}(1-s’)}[N・m]・・・④$$

となります。③=④より条件変化後の電動機出力$P_{o}'[W]$を求めます。

$$\frac{P_{o}’}{ω_{s}(1-s’)}=\frac{P_{o}}{ω_{s}(1-s)}$$

より、

$$\begin{align}P_{o}’&=\frac{1-s’}{1-s}×P_{o}\\&=\frac{1-0.06}{1-0.03}×11×10^{3}\\&=10659[W]・・・⑤\end{align}$$

ここで、①式と②式より、

$$\frac{P_{o’}}{P_{o}}=\frac{3\frac{1-s’}{s’}r_{2}’I_{2}’^{2}}{3\frac{1-s}{s}r_{2}’I_{2}^{2}}$$

という式が得られるので、これを$$\frac{I_{2}’}{I_{2}}$$を求める式に変形すると、

$$\begin{align}\frac{I_{2}’}{I_{2}}&=\sqrt{\frac{P_{o}’×(1-s)×s’}{P_{o}×(1-s’)×s}}\\&=\sqrt{\frac{10659×(1-0.03)×0.06}{11000×(1-0.06)×0.03}}\\&=1.414\\&≒1.41\end{align}$$

よって答えは(4)となります。

 

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