<H29年度(2017年)問15> 三相誘導電動機に関する計算問題(解説あり)

問題

定格出力15kW、定格電圧400V、定格周波数60Hz、極数4の三相誘導電動機がある。
この誘導電動機が定格電圧、定格周波数で運転されているとき、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)軸出力が15kW、効率と力率がそれぞれ90%で運転されているときの一次電流の値[A]として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
(1)22(2)24(3)27(4)33(5)46


(b)この誘導電動機が巻線形であり、全負荷時の回転速度が$1746min^{-1}$であるものとする。二次回路の各相に抵抗を追加して挿入したところ、全負荷時の回転速度が$1455min^{-1}$となった。ただし、負荷トルクは回転速度によらず一定とする。挿入した抵抗の値は元の二次回路の抵抗の値の何倍であるか。最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
(1)1.2(2)2.2(3)5.4(4)6.4(5)7.4

解答を見る
(a)・・・(3)
(b)・・・(3)

前提知識

①電動機の三相入力電力$P_{1}[W]$を求める式

$$P_{1}=\sqrt{3}V_{1}I_{1}cosθ[W]$$
ただし、$V_{1}[V]$は電動機端子電圧(線間)、$I_{1}[A]$は一次電流、$cosθ$は力率。

②トルクの比例推移における関係式

$$\frac{r_{1}}{s_{1}}=\frac{r_{2}}{s_{2}}=\frac{r_{3}}{s_{3}}$$

画像1

トルクの比例推移に関する記事も書いてますので、是非ご覧ください。

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解説

(a)

題意より、電動機効率$η[\%]$は$90[\%]$であり、効率$η[\%]$は、

$$η=\frac{P_{o}}{P_{1}}×100[\%]$$

で表されます。これより、電動機の一次入力$P_{1}[W]$を求めると、

$$\begin{align}P_{1}&=\frac{100P_{o}}{η}\\&=\frac{100×15×100^{3}}{90}\\&=16667[W]\end{align}$$

ここで『前提知識①』より、電動機の一次電流$I_{1}[A]$を求めると、

$$\begin{align}I_{1}&=\frac{P_{1}}{\sqrt{3}V_{1}cosθ}\\&=\frac{16667}{\sqrt{3}×400×0.9}\\&=26.7\\&≒27[A]\end{align}$$

よって(a)の答えは(3)となります。

(b)

この問題は、元の二次回路の抵抗を$r[Ω]$、挿入した抵抗を$R[Ω]$とすると、

$$\frac{R}{r}$$

を求める問題となります。問題文中に『負荷トルクは回転速度によらず一定とする』とあるので『前提知識②』のトルクの比例推移を用います。元のすべりを$s$、変化後のすべりを$s’$とすると、次の関係式が成り立ちます。

$$\frac{r}{s}=\frac{r+R}{s’}$$

元の状態のすべり$s$を求めます。

電動機の同期速度$N_{s}[min^{-1}]$を求めると、

$$\begin{align}N_{s}&=\frac{120f}{p}\\&=\frac{120×60}{4}\\&=1800[min^{-1}]\end{align}$$

よって、

$$\begin{align}s&=\frac{N_{s}-N}{N_{s}}\\&=\frac{1800-1746}{1800}\\&=0.03\end{align}$$

次に変化後のすべり$s’$を求めると、

$$\begin{align}s’&=\frac{1800-1455}{1800}\\&=0.1917\end{align}$$

では、求めたすべりを「トルクの比例推移の式」に代入して答えを求めましょう。

$$\frac{r}{0.03}=\frac{r+R}{0.1917}$$

$$0.1917r=0.03r+0.03R$$

$$\begin{align}\frac{R}{r}&=5.38\\&≒5.4\end{align}$$

よって(b)の答えは(3)となります。

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