<H25年度(2013年)問4>  三相巻線形誘導電動機に関する計算問題(解説あり)

問題

二次電流一定(トルクがほぼ一定の負荷条件)で運転している三相巻線形誘導電動機がある。滑り$0.01$で定格運転しているときに、二次回路の抵抗を大きくしたところ、二次回路の損失は30倍に増加した。電動機の出力は定格出力の何$[\%]$になったか。最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)10 (2)30 (3)50 (4)70 (5)90

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(4)

前提知識

①二次入力$P_{2}$:二次銅損$P_{c2}$:出力$P_{o}$の関係式

$$P_{2}:P_{c2}:P_{o}=1:s:1-s$$

②トルクと二次入力の関係

$$P_{o}=ω_{s}(1-s)×T$$

『前提知識①』より、

$$(1-s)P_{2}=ω_{s}(1-s)×T$$

$$P_{2}=ω_{s}T$$

$ω_{s}$は同期速度であり一定なので、トルクが一定の時、二次入力も一定となる。

解説

『前提知識②』より、トルクが一定なので二次入力$P_{2}[W]$も一定となります。二次抵抗”変化前”の二次回路損失を$P_{c2}[W]$を求めると、

$$\begin{align}P_{c2}&=sP_{2}\\&=0.01P_{2}[W]\end{align}$$

次に二次抵抗変化後の滑りを$s’$とすると、二次回路損失$P_{c2}'[W]$は、

$$P_{c2}’=s’P_{2}[W]$$

題意より、『二次回路の抵抗を大きくしたところ、二次回路の損失は30倍に増加した』とあるので、次の関係式が成り立ちます。

$$P_{c2}’=30P_{c2}$$

よって変化後の滑り$s’$は、

$$P_{c2}’=30P_{c2}$$

$$s’P_{2}=30×0.01×P_{2}$$

$$s’=0.3$$

二次抵抗変化前の出力(定格出力)$P_{o}[W]$は、

$$\begin{align}P_{o}&=(1-s)P_{2}\\&=(1-0.01)P_{2}\\&=0.99P_{2}[W]\end{align}$$

二次抵抗変化後の出力$P_{o}'[W]$は、

$$\begin{align}P_{o}’&=(1-s’)P_{2}\\&=(1-0.3)P_{2}\\&=0.7P_{2}[W]\end{align}$$

題意の問に答えると、

$$\begin{align}\frac{P_{o}’}{P_{o}}×100&=\frac{0.7P_{2}}{0.99P_{2}}×100\\&=70.7[\%]\end{align}$$

よって答えは(4)となります。

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