<H21年度(2009年)問15> 誘導電動機のトルク・効率を求める計算問題(解説あり)

問題

定格出力15[kW]、定格電圧220[V]、定格周波数60[Hz]、6極の三相誘導電動機がある。この電動機を定格電圧、定格周波数の三相電源に接続して定格出力で運転すると、滑りが5[%]であった。機械損及び鉄損は無視できるものとして、次の(a)及び(b)に答えよ。

(a)この時の発生トルク[N・m]の値として、最も近いのは次のうちどれか。
(1)114 (2)119 (3)126 (4)239 (5)251

(b)この電動機の発生トルクが上記(a)の$\frac{1}{2}$となったときに、一次銅損は250[W]であった。このときの効率[%]の値として、最も近いのは次のうちどれか。ただし、発生トルクと滑りの関係は比例するものとする。
(1)92.1 (2)94.0 (3)94.5 (4)95.5 (5)96.9

解答を見る
(a)・・・(3)
(b)・・・(3)

前提知識

①電動機のトルク$T[N・m]$は次式で表されます。

$$T=\frac{P}{ω}[N・m]$$

ただし、$P[W]$は電動機出力、$ω[rad/s]$は回転角速度。


②回転角速度$ω[rad/s]$は次の式で表されます。

$$ω=\frac{2πN}{60}[rad/s]$$

③電動機の回転速度$N[min^{-1}]$は次の式で表されます。

$$N=\frac{120f}{p}(1-s)[min^{-1}]$$

ただし、$f[Hz]$は電源周波数、$p$は極数、$s$は滑り。


④電動機の二次入力、二次銅損、出力の間には次のような関係があります。

$$二次入力P_{2}:二次銅損P_{c2}:出力P_{o}=1:s:1-s$$

解説

(a)

題意より、定格出力$P[W]$は、

$$P=15×10^{3}[W]$$

電動機の回転速度$N[min^{-1}]$を求めると、

$$\begin{align}N&=\frac{120f}{p}(1-s)\\&=\frac{120×60}{6}(1-0.05)\\&=1140[min^{-1}]\end{align}$$

電動機の回転角速度$ω[rad/s]$を求めると、

$$\begin{align}ω&=\frac{2πN}{60}\\&=\frac{2π×1140}{60}\\&=119.4[rad/s]\end{align}$$

よって、電動機のトルク$T[N・m]$を求めると、

$$\begin{align}T&=\frac{P}{ω}\\&=\frac{15×10^{3}}{119.4}\\&=125.6[N・m]\\&≒126[N・m]\end{align}$$

よって(a)の答えは(3)となります。

 

(b)

題意より、『電動機の発生トルクが(a)の$\frac{1}{2}$である』とあるので、変化後のトルク$T'[N・m]$は、
$$\begin{align}T’&=\frac{T}{2}\\&=\frac{125.6}{2}\\&=62.8[N・m]\end{align}$$
となります。また、題意より『発生トルクと滑りの関係は比例するものとする』とあるので、変化後の滑り$s’$は、
$$\begin{align}s’&=s×\frac{T’}{T}\\&=0.05×\frac{62.8}{125.6}\\&=0.025\end{align}$$
変化後の回転速度$N'[min^{-1}]$は、
$$\begin{align}N’&=\frac{120f}{p}(1-s’)\\&=\frac{120×60}{6}×(1-0.025)\\&=1170[min^{-1}]\end{align}$$
変化後の回転角速度$ω'[rad/s]$を求めると、
$$\begin{align}ω’&=\frac{2πN’}{60}\\&=\frac{2π}{60}×1170\\&=122.5[rad/s]\end{align}$$
変化後の出力$P_{o}'[kW]$は、
$$\begin{align}P_{o}’&=ω’T’\\&=122.5×62.8\\&=7.692[kW]\end{align}$$
ここで、『前提知識④』の関係を用いて、二次銅損$P_{c2}$を求めると、
$$\begin{align}P_{c2}&=P_{o}’×\frac{s}{1-s}\\&=7.692×10^{3}×\frac{0.025}{1-0.025}\\&=197.2[W]\end{align}$$
最後に効率$η[\%]$を求めます。効率$η[\%]$は、
$$η=\frac{出力}{入力}×100[\%]$$で求めることが出来ますが、今回は入力が与えられていませんので出力と損失より入力を求めます。電動機の損失は<画像1>のようになります。
画像1
今回は題意より『機械損及び鉄損は無視できるものとして』とあるので、銅損のみを考慮して電動機入力を求めましょう。
電動機入力$P_{in}[kW]$は、<画像1>のように出力に一次・二次銅損、鉄損を加えることで求めることが出来るので、
$$\begin{align}P_{in}&=P_{o}’+P_{c1}+P_{c2}\\&=7.692+0.250+0.1972\\&=8.139[kW]\end{align}$$
よって効率$η[\%]$を求めると、
$$\begin{align}η&=\frac{P_{o}’}{P_{in}}×100\\&=\frac{7.692}{8.139}×100\\&=94.5[\%]\end{align}$$
よって(b)の答えは(3)となります。

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