<R元年度(2019年)問3>誘導電動機の効率に関する計算問題(解説あり)

問題

4極の三相誘導電動機は60Hzの電源に接続され、出力5.75kW、回転速度$1656min^{-1}$で運転されている。このとき、一次銅損、二次銅損及び鉄損の三つの損失の値が等しかった。このときの誘導電動機の効率の値[%]として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、その他の損失は無視できるものとする。

(1)76.0 (2)77.8 (3)79.3 (4)80.6 (5)88.5

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(3)

前提知識

①電動機の同期速度$N_{s}[min^{-1}]$を求める式。

$$N_{s}=\frac{120f}{p}[min^{-1}]$$
ただし、$p$は極数、$f$は周波数。

②すべり$s$を求める式。
$$s=\frac{N_{s}-N}{N_{s}}$$
ただし、$N[min^{-1}]$は電動機回転子の回転速度。

③二次入力$P_{2}$、二次銅損$P_{c2}$、出力$P_{o}$の関係式。
$$P_{2}:P_{c2}:P_{o}=1:s:1-s$$

解説

題意より、損失は「一次銅損、二次銅損、鉄損」のみを考慮すればよいので、電動機の効率$η[\%]$は、

$$\begin{align}η[\%]&=\frac{P_{o}}{P_{1}(一次入力)}×100\\&=\frac{P_{o}}{P_{o}+P_{c1}+P_{c2}+P_{i}}×100\end{align}$$

で求められます。(※$P_{c1}$は一次銅損、$P_{c2}$は二次銅損、$P_{i}$は鉄損)

題意より、

$$P_{c1}=P_{c2}=P_{i}$$

であることが条件なので、この中で求められそうなものを一つ求めましょう。ここで『前提知識③』を用いて二次銅損$P_{c2}[W]$を表す式を求めると、

$$P_{c2}=\frac{s}{1-s}×P_{o}[W]$$

となります。すべり$s$が未知数なので、すべり$s$を求めるために電動機の同期速度$N_{s}[min^{-1}]$を求めると、

$$\begin{align}N_{s}&=\frac{120f}{p}\\&=\frac{120×60}{4}\\&=1800[min^{-1}]\end{align}$$

となり、すべりを求めると、

$$\begin{align}s&=\frac{N_{s}-N}{N_{s}}\\&=\frac{1800-1656}{1800}\\&=0.08\end{align}$$

となります。よって二次銅損$P_{c2}[W]$は、

$$\begin{align}P_{c2}&=\frac{s}{1-s}×P_{o}\\&=\frac{0.08}{1-0.08}×5750\\&=500[W]\end{align}$$

となります。最後に冒頭に求めた効率$η[\%]$を求める式に数値を代入すると、

$$\begin{align}η[\%]&=\frac{5750}{5750+500+500+500}×100\\&=79.3[\%]\end{align}$$

よって答えは(3)となります。

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