<H27年度(2015年)問15> 三相巻線形誘導電動機に関する計算問題(解説あり)

問題

定格出力15kW、定格電圧220V、定格周波数60Hz、6極の三相巻線形誘導電動機がある。二次巻線は星形(Y)結線でスリップリングを通して短絡されており、各相の抵抗値は0.5Ωである。この電動機を定格電圧、定格周波数の電源に接続して定格出力(このときの負荷トルクを$T_{n}$とする)で運転しているときの滑りは5%であった。
計算に当たっては、L形簡易等価回路を採用し、機械損及び鉄損は無視できるものとして、次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)速度を変えるために、この電動機の二次回路の各相に0.2Ωの抵抗を直列に挿入し、上記と同様に定格電圧、定格周波数の電源に接続して上記と同じ負荷トルク$T_{n}$で運転した。このとき滑りの値[%]として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)3.0 (2)3.6 (3)5.0 (4)7.0 (5)10.0


(b)電動機の二次回路の各相に上記(a)と同様に0.2Ωの抵抗を直列に挿入したままで、電源の周波数を変えずに電圧だけを200Vに変更したところ、ある負荷トルクで安定に運転した。このときの滑りは上記(a)と同じであった。
この安定に運転したときの負荷トルクの値[N・m]として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)99 (2)104 (3)106 (4)109 (5)114

解答を見る
(a)・・・(4)
(b)・・・(2)

前提知識

①トルクの比例推移における関係式

$$\frac{r_{1}}{s_{1}}=\frac{r_{2}}{s_{2}}=\frac{r_{3}}{s_{3}}$$

画像1

②誘導電動機のL形等価回路

画像2

解説

(a)

問題文中に、電源電圧、周波数が一定でトルクが変化しないとあるので、「トルクの比例推移」を用います。二次巻線の各相の抵抗を$r[Ω]$、接続する抵抗を$R[Ω]$、変化前の滑りを$s$、変化後の滑りを$s’$とすると、次のような関係式が成り立ちます。

$$\frac{r}{s}=\frac{r+R}{s’}$$

数値を代入し、変化後の滑り$s’$を求めると、

$$\begin{align}s’&=\frac{r+R}{r}×s\\&=\frac{0.5+0.2}{0.5}×0.05\\&=0.07\end{align}$$

$$0.07⇒7[\%]$$

よって(a)の答えは(4)となります。

(b)

前提知識②』の<画像2>を再掲します。

画像2 再掲

この等価回路より、電動機のトルク$T[N・m]$に関する式を導出してみましょう。

$$T=\frac{P_{o}}{ω}[N・m]・・・①$$

電動機の出力を求めると、

$$P_{o}=3×\frac{1-s}{s}r_{2}’×I^{2}・・・②$$

電流$I[A]$は、

$$I=\frac{V_{1}}{\sqrt{(r_{1}+\frac{r_{2}’}{s})^{2}+(x_{1}+x_{2}’)^{2}}}$$

なので、これを②に代入すると、

$$P_{o}=\frac{3×\frac{1-s}{s}r_{2}’×V_{1}^{2}}{(r_{1}+\frac{r_{2}’}{s})^{2}+(x_{1}+x_{2}’)^{2}}・・・③$$

となります。次に電動機の回転角速度$ω[rad/s]$を求めると

$$\begin{align}ω&=\frac{2πN}{60}\\&=\frac{2π}{60}×\frac{120f}{p}(1-s)\\&=\frac{4πf}{p}(1-s)・・・④\end{align}$$

となります。③、④を①のトルクを求める式に代入すると、

$$\begin{align}T&=\frac{\frac{3×\frac{1-s}{s}r_{2}’×V_{1}^{2}}{(r_{1}+\frac{r_{2}’}{s})^{2}+(x_{1}+x_{2}’)^{2}}}{\frac{4πf}{p}(1-s)}\\&=\frac{p}{4πf}×\frac{3×\frac{r_{2}’}{s}×V_{1}^{2}}{(r_{1}+\frac{r_{2}’}{s})^{2}+(x_{1}+x_{2}’)^{2}}・・・④\end{align}$$

式が導出できたところで、条件の確認を行いましょう。

条件1:(a)と同様に抵抗$0.2[Ω]$を接続したままであり、滑りも(a)と同じ(=0.07)である。
条件2:周波数を変化させずに電圧のみを変化させる。

となります。ここで④式を見ていただくと、この式の中の変数は上の二つの条件より、電源電圧$V_{1}$のみであるということが分かります。ということは、「トルク$T$は電源電圧$V_{1}$の2乗に比例する」ことのみを利用して、電源電圧変化後のトルクを求めればよいのです。ということで、電源電圧変化前の定格負荷トルク$T_{n}[N・m]$も求めると、

$$\begin{align}T_{n}&=\frac{P_{n}}{ω}\\&=\frac{15000}{\frac{2π}{60}×\frac{120×60}{6}(1-0.05)}\\&=125.67[N・m]\end{align}$$

(a)では、トルクの比例推移を用いたので電圧変化前の負荷トルクも定格負荷トルクと同様です。したがって「トルクは電源電圧の2乗に比例する」を用いると、電源電圧変化後のトルク$T'[N・m]$は、

$$\begin{align}T’&=T_{n}×(\frac{V_{1}’}{V_{1}})^{2}\\&=125.67×(\frac{200}{220})^{2}\\&=103.85\\&≒104[N・m]\end{align}$$

よって(b)の答えは(2)となります。

補足

今回の問題は、途中で何がどうなっているのか分かりにくくなりやすいかと思います。なので、補足として<画像3>に解答フローを設けました。是非ご覧ください。

画像3

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